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贝塞尔曲线

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二次贝塞尔曲线​

二次贝塞尔曲线的公式为：

B(t)=(1−t)2P0+2t(1−t)P1+t2P2,t∈[0,1]B(t) = (1-t)^2P_0 + 2t(1-t)P_1 + t^2P_2, t \in [0, 1]

我们先来回归一下高中数学，二次函数的标准形式为：

y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c

其中，aa 为二次项系数，bb 为一次项系数，cc 为常数项。

二次函数的图像为抛物线，抛物线的顶点坐标为：

x=−b2a,y=−b2−4ac4ax = -\frac{b}{2a}, y = -\frac{b^2-4ac}{4a}

我们可以把二次贝塞尔曲线的公式转换为二次函数的标准形式：

B(t)=(P0−2P1+P2)t2+2(P1−P0)t+P0B(t) = (P_0 - 2P_1 + P_2)t^2 + 2(P_1 - P_0)t + P_0

拿二阶过程描述如下：

  1. 将控制点连接起来，得到两条线段；
  2. 取 t 值，计算出两条线段上的点；
  3. 将两条线段上的点连接起来，得到一条线段；
  4. 取 t 值，计算出线段上的点；
  5. 重复 2、3 步骤，直到 t 值为 1。

高阶的不过是需要多重复几次直到剩一条线段，然后再取 t 值计算出点。

此过程可以用向量表示

B(t)=∑i=0n(ni)(1−t)n−itiPiB(t) = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} (1-t)^{n-i}t^iP_i

程序设计

一般化贝塞尔曲线公式​

B(t)=∑i=0n(ni)(1−t)n−itiPiB(t) = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} (1-t)^{n-i}t^iP_i

这个公式是贝塞尔曲线的定义。它描述了如何根据一组控制点 P_i 和一个参数 t 计算贝塞尔曲线上的点 B(t)。

基于多项式的实现​

function bezier(points, t) {
  const n = points.length - 1;
  let x = 0;
  let y = 0;
  for (let i = 0; i <= n; i++) {
    const b = binomial(n, i);
    const a = Math.pow(1 - t, n - i);
    const c = Math.pow(t, i);
    x += b * a * c * points[i].x;
    y += b * a * c * points[i].y;
  }
  return { x, y };
}

function binomial(n, i) {
  return factorial(n) / (factorial(i) * factorial(n - i));
}

function factorial(n) {
  let result = 1;
  for (let i = 1; i <= n; i++) {
    result *= i;
  }
  return result;
}

binomial 这里查看 二项式定理

基于递归实现​

function bezier(points, t) {
  const n = points.length - 1;
  if (n === 0) {
    return points[0];
  }
  const left = bezier(points.slice(0, n), t);
  const right = bezier(points.slice(1, n + 1), t);
  return {
    x: (1 - t) * left.x + t * right.x,
    y: (1 - t) * left.y + t * right.y,
  };
}

搬家

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公式模板

[x′y′z′]=[abcdefghi]×[xyz]\left[\begin{matrix} x^{'}\\y^{'}\\z^{'} \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} a & b & c\\ d & e&f\\ g & h & i \end{matrix} \right] \times \left[\begin{matrix} x\\y\\z \end{matrix} \right] I=∫02πsin⁡(x) dxI = \int_0^{2\pi} \sin(x)\,dx